线性代数基础

博主： Skykguj
发布时间：2023 年 04 月 27 日
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分类：竞赛相关

### 线性代数基础

#### 矩阵

矩阵是一种非常重要的数学对象，它通常由一个由数字排成的矩形阵列来定义。一个矩阵由若干行和若干列组成，被称为矩阵的行数和列数。一般情况下，矩阵的行数和列数分别用 $n$ 和 $m$ 表示。

矩阵中的每个元素都用一个下标表示，第 $i$ 行第 $j$ 列矩阵元素表示为 $A_{i,j}$，其中 $i$ 和 $j$ 分别表示该元素所在的行和列。矩阵中的元素可以是数字、变量或函数。

单位矩阵是指矩阵的主对角线上为 $1$ 其他位置为 $0$ 的矩阵，一般用 $\mathbf{I}$ 表示。

$$
\mathbf{I}=\begin{bmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\0 & 1 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \cdots & 1\end{bmatrix}
$$

单位矩阵性质：设有一个矩阵 $\mathbf{A}$，则有 $\mathbf{I} \times \mathbf{A}=\mathbf{A}$。

##### 矩阵加法

设矩阵 $A$、$B$ 的行数和列数相等，则它们的和记作 $\mathbf{A} + \mathbf{B}$，其中每个元素为 $A_{i,j}+B_{i,j}$。

##### 矩阵乘法

矩阵乘法是一种在两个矩阵之间进行的运算，其中一个矩阵的列数需等于另一个矩阵的行数。假设有两个矩阵 $\mathbf{A}_{n \times p}$ 和 $\mathbf{B}_{p \times m}$，它们可以被表示为：

$$
\mathbf{A}=\begin{bmatrix}a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,p}\\a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,p}\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,p}\\\end{bmatrix}\quad\mathbf{B}=\begin{bmatrix}b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,m}\\b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,m}\\\vdots & \vdots & \ddots &\vdots\\b_{p,1} & b_{p,2} & \cdots & b_{p,m}\\\end{bmatrix}
$$

矩阵乘积 $\mathbf{C}_{n \times m}$ 是一个新的矩阵，它的元素 $c_{i,j}$ 可以定义为：

$$
c_{i,j} = \sum_{k=1}^p a_{i,k}b_{k,j}
$$

上式中的 $k$ 取遍所有可能的值，即 $1 \leq k \leq p$，并将乘积相加。因此，矩阵乘积的定义告诉我们，在将矩阵相乘之前，需要确保第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

矩阵乘法不满足交换律，即 $\mathbf{A} \times \mathbf{B} \neq \mathbf{B} \times \mathbf{A}$，但它满足结合律，即 $\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C}$。

##### 例题：

* [Luogu P3390 【模板】矩阵快速幂](https://www.luogu.com.cn/problem/P3390)
  
* [Luogu P1939 【模板】矩阵加速（数列）](https://www.luogu.com.cn/problem/P1939)
  
* [Luogu P1962 斐波那契数列](https://www.luogu.com.cn/problem/P1962)

#### 高斯消元

#### 线性空间

**线性空间** 是一个关于 **向量加法** 和 **标算乘法** 两个运算构成的向量集合。

* 向量加法：$a + b$，其中 $a, b$ 均为向量。
  
* 标算乘法：$k \times a$，也称为数乘运算，其中 $k$ 是常数。

给定若干个向量 $a_1, a_2, a_3 \dots a_k$，若向量 $b$ 能由 $a_1, a_2, a_3 \dots a_k$ 经过 **向量加法** 和 **标算乘法** 得到，则称向量 $b$ 能被向量 $a_1, a_2, a_3 \dots a_k$ **表出**，显然，所有的 $a_1, a_2, a_3 \dots a_k$ 构成一个线性空间，$a_1, a_2, a_3 \dots a_k$ 称为这个线性空间的 **生成子集**。

从线性空间中的任选出若干个向量，如果其中一个向量能被其他向量能表出，则称这些向量 **线性相关**，否则称这些向量 **线性无关**。

线性无关的生成子集，成为这个线性空间的 **基底**（极大线性无关子集）。

**小提示：**

* 基底不是唯一的。
  
* 所有基底中的向量个数都相等。

##### 线性空间与矩阵

对于一个 $n \times m$ 的矩阵，我们可以把它的每一行看作一个长度为 $m$ 的向量，称为 **行向量**，矩阵的 $n$ 个行向量能够表出的所有向量构成一个线性空间，这个线性空间的维度成为 **行秩**，类似的，我们可以定义矩阵的 **列向量** 和 **行秩**。实际上矩阵的行秩等于列秩，他们被共同称为矩阵的 **秩**。

可以发现，高斯消元后得到的 **简化阶梯矩阵** 中的主元个数即为矩阵的秩，主元是这个线性空间的基底。

初等行变换实际上就对应了向量的两个运算。

最后修改：2023 年 07 月 06 日