曲棍球棒恒等式
$$ \sum_{k=r}^{n}\binom{k}{r}=\binom {n+1}{r+1} $$
这是组合数学中一个非常著名的恒等式，通常被称为曲棍球棒恒等式（Hockey-stick identity），因为它在杨辉三角形中的图形看起来像一根曲棍球棒（或冰球棍）。有时也叫做求和恒等式。
吸收恒等式
可以理解为将 $k$ "吸收" 到组合数中。
$$ k\binom{n}{k}=n\binom{n-1}{k-1} $$
证明
组合意义：
可以先从 $n$ 个人中选出 $k$ 个人，再从这 $k$ 个人中选出一个人当队长，也可以先从 $n$ 个人中选出一个人当队长，再从剩下 $n-1$ 个人中选出 $k-1$ 个人当队员，两个问题显然是等价的。
组合数平方和公式
$$ \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n} $$
证明
考虑用二项式定理证明（算两次原理）：
$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{2n}\binom{2n}{k}x^k&=(x+1)^{2n}\\ &=(x+1)^n(x+1)^n\\ &=(\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}x^r)(\sum_{s=0}^n\binom{n}{s}x^s)\\ &=\sum_{k=0}^{2n}\sum_{r=0}^k\binom{n}{r}\binom{n}{k-r}x^k\\ \end{aligned} $$
取出第 $n$ 项的系数，有 $\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}^2=\binom{2n}{n}$
这是 范德蒙德卷积 的推论。
范德蒙德卷积
$$ \sum_{i=0}^k\binom{n}{i}\binom{m}{k-i}=\binom{n+m}{k} $$
证明
考虑用二项式定理证明（算两次原理）：
$$ \begin{aligned} \sum_{k=0}^{n+m}\binom{n+m}{k}x^k&=(x+1)^{n+m}\\ &=(x+1)^n(x+1)^m\\ &=(\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}x^r)(\sum_{s=0}^m\binom{m}{s}x^s)\\ &=\sum_{k=0}^{n+m}\sum_{r=0}^k\binom{n}{r}\binom{m}{k-r}x^k\\ \end{aligned} $$
即有：
$$ \binom{n+m}{k}=\sum_{r=0}^k\binom{n}{r}\binom{m}{k-r} $$
若考虑其组合意义证明：
在一个大小为 $n+m$ 的集合中取出 $k$ 个数，可以等于把大小为 $n+m$ 的集合拆成两个集合，大小分别为 $n$ 与 $m$，然后从 $n$ 中取出 $i$ 个数，从 $m$ 中取出 $k-i$ 个数的方案数．由于我们有了对于 $i$ 的枚举，于是只需要考虑一种拆法，因为不同的拆法之间是等价的．
推论
$$ \sum_{i=-r}^{s}\binom{n}{r+i}\binom{m}{s-i}=\binom{n+m}{r+s} $$
