裂项相消法

问题： 求 $\sum_{i=1}^ni(i+1)$

方法 1：注意到：

$$ \sum_{i=1}^ni(i+1)=\sum_{i=1}^n\frac{i(i+1)(i+2)-(i-1)i(i+1)}{3} $$

令 $a_i=\frac{1}{3}i(i+1)(i+2)$，则：

$$ \begin{align*} S_n& =a_1+a_2-a_1+...+a_{n-1}-a_{n-2}+a_n-a_{n-1}\\& =a_n=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2) \end{align*} $$

方法 2：待定系数法

设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx$，令 $f(n)-f(n-1)=n(n+1)$，则：

$$ \begin{align*} n(n+1)& =n^2+n=f(n)-f(n-1)\\ & = 3an^2+(2b-3a)n+a-b+c \end{align*} $$

令系数相等，$3a=2b-3a=1, a-b+c=0$，联立解得 $a=\frac{1}{3},b=1,c=\frac{2}{3}$。

代回原式，得 $f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+\frac{2}{3}x=\frac{x(x+1)(x+2)}{3}$，因此 $S_n=f(n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$

问题： 求 $\sum_{i=1}^ni^2$

方法 2：待定系数法

设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx$，令 $f(n)-f(n-1)=n(n+1)$，则：

$$ \begin{align*} n(n+1)& =n^2+n=f(n)-f(n-1)\\ & = 3an^2+(2b-3a)n+a-b+c \end{align*} $$

令系数相等，$3a=1,2b-3a=a-b+c=0$，联立解得 $a=\frac{1}{3},b=\frac{1}{2},c=\frac{1}{6}$。

代回原式，得 $f(x)=\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{6}x=\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$，因此 $S_n=f(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$